Question

【题目】在中，点在边上（不与点重合），，垂足为点，如果以为对角线的正方形上的所有点都在的内部或边上，则称该正方形为的内正方形．

（1）如图，在中，，，点是的中点，画出的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；

（2）在平面直角坐标系中，点，，．

①若，求的内正方形的顶点的横坐标的取值范围；

②若对于任意的点，的内正方形总是存在，直接写出的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）画图见解析；的内正方形的面积为；（2）①；②或．

【解析】

（1）根据要求作出正方形DGEH即可，求出DE，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．

（2）①如图2中，设E（m，0）．用m表示出点G的坐标，求出直线AC的解析式，当点G落在AC上时，利用待定系数法求出m即可解决问题．

②观察图2可知，当t＝4或4时，点G落在AC上，由此可以得出结论．

解：（1）如图．

∵，，点是的中点，

∴．另一条对角线的长也=1,

∴的内正方形的面积=对角线的乘积=．

（2）①根据题意，，．

设正方形的对角线，交于点，可知点总在边上，当在边上时，点的横坐标取得最大值，作于点．

可知，，，，

∴．

∴．

∴．

②或．

由图形可知,当t=4时,点F落在AC上,

故t≥4时,△ABC的内正方形总是存在的,

根据对称性,t≤-4时,也满足条件,