Question

9．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形ABCD如图1放置，点A，B都在x轴正半轴上，点D（5，3），反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过点C．
（1）求反比例函数y=$\frac{k}{x}$的函数解析式；
（2）如图2，以D为顶点作正方形DEFG，使点E，F分别落在x轴正半轴和y轴正半轴上．
①记DE的中点为H，判断点H是否在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，并说明理由；
②若P为反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上一点，Q为x轴上一点，以E，F，P，Q为顶点的四边形恰好是平行四边形，请直接写出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）依据正方形的性质可求得点C的坐标为（2，3），从而可求得k的值，于是可得到反比例函数的解析式；
（2）①先证明△EFO≌△DEA，由全等三角形的性质可得到点E的坐标，依据中点坐标公式可得到点H的坐标，然后将点H的坐标代入反比例函数解析式进行验证即可；②由△EFO≌△DEA可求得点E（3，0）、F（0，2），当EF为平行四边形的边时，依据平行四边形的性质可求得点P的坐标为2或-2，从而可求得点P的坐标，然后依据平行四边形的对边相等、交线互相平分从而可求得Q的坐标当EF为平行四边形的对角线时，可先确定出点P的坐标，然后依据平行四边形对边相等可求得QE=3，从而可求得点Q的坐标．

解答 解：（1）∵点D的坐标为（5，3），四边形ABCD为正方形，
∴AD=3，CD=3．
∴点C的坐标为（2，3）．
∴k=2×3=6．
∴反比例函数的解析式y=$\frac{6}{x}$．
（2）①∵四边形DEFG为正方形，
∴∠FED=90°，EF=DE．
∴∠FEO+∠DEA=90°．
又∵∠FEO+∠OFE=90°，
∴∠OFE=∠DEA．
在△EFO和△DEA中$\left\{\begin{array}{l}{∠EFO=∠DEA}\\{∠FOE=∠EAD}\\{EF=ED}\end{array}\right.$，
∴△EFO≌△DEA．
∴AD=OE=3，OF=EA=2．
∴点E的坐标为（3，0）．
由线段的中点坐标公式可知：点H的坐标为（4，$\frac{3}{2}$）．
∵4×$\frac{3}{2}$=6，
∴点H在反比例函数的图象上．
②∵△EFO≌△DEA．
∴AD=OE=3，OF=EA=2．
∴点E的坐标为（3，0）、F（0，2）．
当EF为平行四边形的边时，如图1所示：

∵四边形EFP₁Q₁为平行四边形，
∴点P₁的纵坐标为2．
将y=2代入得：$\frac{6}{x}$=2，解得x=3，
∴点P₁的坐标为（3，2）．
∴FP₁=3．
∵FP₁=EQ₁=3，E的坐标为（3，0），
∴Q₁的坐标为（6，0）．
∵四边形FEP₂Q₂为平行四边形，
∴A为点F与点P₂的中点．
∴点P₂的纵坐标为-2．
∴-2=$\frac{6}{x}$，解得x=-3．
∴点P₂的坐标为（-3，-2）．
∴点A的坐标为（-$\frac{3}{2}$，0）．
∵点A为点P₂和点Q₂的中点，
∴点Q₂的坐标为（-6，0）．
当EF为平行四边形的对角线时，如图2所示：

∵EQPF为平行四边形，
∴FP=QE．
∵FP=3，OE=3，
∴EQ=OE=3．
∴点Q与点O重合．
∴点Q的坐标为（0，0）．
综上所述，当点Q的坐标为-6，0）或（0，0）或（6，0）时，四边形EFPQ为平行四边形．

点评 本题主要考查的是反例函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求反比例函数的解析式、反比例函数图象上点的坐标与函数解析式的关系、平行四边形的性质，正方形的性质、全等三角形的性质和判定，分类讨论是解题的关键．