Question

2．如图1，抛物线y=ax²-3ax-4a（a＜0）交x轴于点A、B（A左B右），交y轴正半轴于点C．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）点D在抛物线在第一象限的部分上一动点，当∠ACB=90°时，
①求抛物线的解析式；
②当四边形OCDB的面积最大时，求点D的坐标；
③如图2，若E为BC的中点，DE的延长线交线段AB于点F，当△BEF为钝角三角形时，请直接写出点D的纵坐标y的范围．

Answer 1

分析 （1）y=0，即可得到0=ax²-3ax-4a，从而得到A（-1，0），B（4，0）；
（2）①根据射影定理得，CO²=A0•BO，即可得出结果；
②求出BC解析式，根据S_OCDB=4+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{1}{2}$x-2）即可求出当四边形OCDB的面积最大时点D的坐标；
③分两种情况讨论：当90°＜∠FEB＜180°时，$\frac{13}{9}$＜y＜-4+$\sqrt{41}$；当90°＜∠EFB＜180°，2＜y＜3．

解答 解：（1）令y=0，则0=ax²-3ax-4a，
∴x=4，x=-1，
∴A（-1，0），B（4，0）．
（2）①∵∠ACB=90°，CO⊥AB，
∴根据射影定理得，CO²=A0•BO，
∴CO=2，
∴-4a=2，
∴a=-$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2
 ②如图1，设BC解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，2）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}4k+b=0\\ b=2\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{2}\\ b=2\end{array}\right.$，
则BC解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，设D（x，-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2），
∴S_OCDB=4+$\frac{1}{2}$×4×（-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2+$\frac{1}{2}$x-2）=4-x²+4x，
∴当x=2，S最大，
∴D（2，3）．
③如图2，
∵B（4，0），C（0，2），
∴点E的坐标为（2，1），
当FD⊥BC时，设FD解析式为y=2x+m，
将（2，1）代入解析式得，m=-3，
函数解析式为y=2x-3，
与y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2组成方程组得，
$\left\{\begin{array}{l}y=2x-3\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2\end{array}\right.$，
解得，y₁=-4+$\sqrt{41}$，y₂=-4-$\sqrt{41}$（舍去）．                              
设AD₁的解析式为y=sx+t，
将E（2，1）和A（-1，0）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}2s+t=1\\-s+t=0\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}s=\frac{1}{3}\\ t=\frac{1}{3}\end{array}\right.$，
解析式为y=$\frac{1}{3}$x+$\frac{1}{3}$．
与y=-$\frac{1}{2}$x²+$\frac{3}{2}$x+2组成方程组得，
$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\\ y=-\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{3}{2}x+2\end{array}\right.$
解得，y₃=0（舍去），y₄=$\frac{13}{9}$．
当90°＜∠FEB＜180°时，$\frac{13}{9}$≤y＜-4+$\sqrt{41}$；
如图3，D₃E⊥x轴时，得D₃（2，3），
当90°＜∠EFB＜180°时，2＜y＜$\frac{25}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数解析式、二次函数最值、中点坐标公式，要注意数形结合求y的取值范围．