Question

18．如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC边上，点F在BC延长线上，且∠CDF=∠BAE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）若DF=3，DE=4，AD=5，求CD的长度．

Answer 1

分析 （1）直接利用矩形的性质结合全等三角形的判定与性质得出BE=CF，进而得出答案；
（2）利用勾股定理的逆定理得出∠EDF=90°，进而得出$\frac{1}{2}$•ED•DF=$\frac{1}{2}$EF•CD，求出答案即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠B=∠DCF=90°，
∵∠BAE=∠CDF，
在△ABE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DCF}\\{AB=DC}\\{∠BAE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（ASA），
∴BE=CF，
∴BC=EF，
∵BC=AD，
∴EF=AD，
又∵EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；

（2）解：由（1）知：EF=AD=5，
在△EFD中，∵DF=3，DE=4，EF=5，
∴DE²+DF²=EF²，
∴∠EDF=90°，
∴$\frac{1}{2}$•ED•DF=$\frac{1}{2}$EF•CD，
∴CD=$\frac{12}{5}$．

点评 此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理的逆定理，得出BC=EF是解题关键．