Question

13．正方形、等边三角形是常见的轴对称图形．如图，设有一个边长为1的正方形ABCD，试在这个正方形中找出一个面积最大的和一个面积最小的内接等边三角形，并求出这两个图形的面积．

Answer 1

分析 ①如图1中，当点E是AB中点时，等边三角形△EFG的边长最小，在RT△AEF求出EF即可．②如图2中，当点G与点C重合，等边三角形△EFG的边长最长，在CD上取一点M使得EM=MC，根据对称性可知∠ECD=∠BCE=15°，设DF=x，列出方程即可解决问题．

解答 解：①如图1中，当点E是AB中点时，等边三角形△EFG的边长最小，

∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=1，AE=BE=$\frac{1}{2}$，∠A=∠B=90°，
∵∠FEG=60°，EF=EG，
在△AEF和△BEG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EG}\\{AE=BE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△BEG，
∴∠AEF=∠BEG=60°，
∴EF=EG=FG=2AE=1．
S_△EFG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•EF²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．

②如图2中，当点G与点C重合，等边三角形△EFG的边长最长．

在CD上取一点M使得EM=MC，根据对称性可知∠ECD=∠BCE=15°，
∴∠MFC=∠MCF=15°，
∴∠DMF=∠MFC+∠MCF=30°，设DF=a，则FM=MC=2a，DM=$\sqrt{3}$a，
∴2a+$\sqrt{3}$a=1，
∴a=2-$\sqrt{3}$，
∴DF=2-$\sqrt{3}$，CF²=CD²+DF²=8-4$\sqrt{3}$．
∴S_△CEF=$\frac{\sqrt{3}}{4}$•CF²=2$\sqrt{3}$-3．

点评 本题考查正方形的性质、等边三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确画出图形，添加辅助线构造特殊三角形解决问题，学会出现15°添加辅助线的方法，出现15°想到构造30°的直角三角形，属于中考常考题型．