Question

【题目】如图，矩形中，为上一动点（与不重合），将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，则的长=______，折痕的长_____．

Answer 1

【答案】5

【解析】

根据折叠及矩形的性质得到∠B1QF =∠CB1B，即可得到QF= B1F=5，如图，过点Q作QH⊥PB1于点H，得到△EHQ∽△EB1F，利用相似比得到EH，QH，从而得到B1H及B1Q，计算出cos∠HB1Q=，根据等量代换得到∠PB1B=∠PBB1=∠PCB，利用cos∠PCB = cos∠HB1Q=即可计算得出PC的值．

解：由折叠可知，PC 垂直平分BB1，

∴BC=B1C，BP=B1P，

∴∠CBB1=∠CB1B，∠PBB1=∠PB1B

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠CBB1=∠B1QF，

∴∠B1QF =∠CB1B，

∴QF= B1F，

∵，

∴B1F=5，EF=13，

∴，

如图，过点Q作QH⊥PB1于点H，

∵∠PB1C=90°，

∴QH∥B1F，

∴△EHQ∽△EB1F，

∴，

即，

∴EH=，QH=，

∴B1H=

∴，

∴cos∠HB1Q=

又∵∠PBB1+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，

∴∠PB1B=∠PBB1=∠PCB，

∴cos∠PCB = cos∠HB1Q=

又∵，

∴cos∠PCB，即，

∴PC=，

故答案为：5，