Question

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，E、F分别是边AB和BC的中点，AC=2，点P为对角线AC上一动点，则PE+EF的最小值为

1+

3

2

．

Answer 1

分析：首先求出EF是定值，再将求PE+EF的最小值转化为求PE的最小值．再利用垂线段最短的性质和三角函数等知识求出PE的最小值即可．

解答：解：由题意可知EF为△ABC的中位线，由中位线定理可知EF=

1

2

AC=1为定值，
要使PE+EF最小只需PE最小，
由垂线段最短可知当EP⊥AC时，PE最短．
∵∠BAC=120°，
∴∠B=60°．
又∵AB=BC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB=AC=2，∠BAC=60°．
Rt△AEP中，AE=

1

2

AB=1，EP=AEsin60°=

3

2

，
∴PE+EF的最小值为；1+

3

2

．
故答案为：1+

3

2

．

点评：此题主要考查了轴对称最短路径，本题是求两条线段的和的最小值，解本题的关键在于知道EF为定值．