Question

2．在△ABC中，AB=AC，BG⊥AC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）如图1，若D是BC边上的中点，∠A=45°，DF=3，求AC的长；
（2）如图2，D是线段BC上的任意一点，求证：BG=DE+DF；
（3）在图3，D是线段BC延长线上的点，猜想DE、DF与BG的关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG，然后根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；
（2）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE+DF=BG；
（3）连结AD．根据△ABC的面积=△ABD的面积-△ACD的面积，以及AB=AC，即可得到DE-DF=BG．

解答 解：如图1，连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，即$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG，
∵D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC，
∴DE=DF=3，
∴BG=6，
∵∠A=45°，
∴△AGB是等腰直角三角形，
∴AB=$\sqrt{2}$BG=6$\sqrt{2}$，
∴AC=6$\sqrt{2}$；

（2）证明：如图2，连结AD．
则△ABC的面积=△ABD的面积+△ACD的面积，
即$\frac{1}{2}$AB•DE+$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE+DF=BG；

（3）DE-DF=BG，
证明：如图3，连接AD，则△ABC的面积=△ABD的面积-△ACD的面积，
即$\frac{1}{2}$AB•DE-$\frac{1}{2}$AC•DF=$\frac{1}{2}$AC•BG，
∵AB=AC，
∴DE-DF=BG．

点评 本题考查了三角形的面积和等腰三角形的性质，本题关键是根据三角形面积的两种不同表示方法求解．