题目内容
7．
如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒2cm/s，设运动的时间为t秒．（1）出发几秒后，△BCP是等腰直角三角形？请说明理由．
（2）当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成的两部分之间是2倍关系？
分析 （1）由题意得出BC=CP，即可得出结果；
（2）△BCP为等腰三角形时，分三种情况进行讨论：①CP=CB；②BC=BP；③PB=PC；即可得出答案．
（3）当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．得出0≤t≤6，C△ABC=24，若直线PQ把△ABC的周长分成的两部分之间是1：2，则一部分为8，另一部分为16，分两种情况，即可得出答案．
解答 
解：（1）出发3秒后，△BCP是等腰直角三角形；理由如下：如图1所示，
若△BCP是等腰直角三角形，则BC=CP，
∴2t=6，
∴t=3s；
（2）当t=3s，5.4s，6s或6.5s时，△BCP为等腰三角形．理由如下：
∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴AC=8cm，
△BCP为等腰三角形时，分三种情况：
①如果CP=CB，那么点P在AC上，CP=6cm，此时t=6÷2=3（秒）；
如果CP=CB，那么点P在AB上，CP=6cm，此时t=5.4（秒）
（点P还可以在AB上，此时，作AB边上的高CD，利用等面积法求得CD=4.8，再利用勾股定理求得DP=3.6，所以BP=7.2，AP=2.8，所以t=（8+2.8）÷2=5.4秒）
②如果BC=BP，那么点P在AB上，BP=6cm，CA+AP=8+10-6=12（cm），此时t=12÷2=6（秒）；
③如果PB=PC，那么点P在BC的垂直平分线与AB的交点处，即在AB的中点，此时CA+AP=8+5=13（cm），
t=13÷2=6.5（秒）；
综上可知，当t=3秒或5.4秒或6秒或6.5秒时，△BCP为等腰三角形；
故答案为：3秒或5.4秒或6秒或6.5秒．
（3）当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．
则0≤t≤6，C△ABC=24，
若直线PQ把△ABC的周长分成的两部分之间是1：2，
则一部分为8，另一部分为16，分两种情况：
①如图2所示，t+2t=8，
解得：t=$\frac{8}{3}$；
②如图3所示，t+2t=16，
解得：t=$\frac{16}{3}$；
综上所述，当t为$\frac{8}{3}$秒或$\frac{16}{3}$秒时，直线PQ把△ABC的周长分成的两部分之间是2倍关系．
点评 本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的周长的计算；利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．
阅读快车系列答案
| A． | 5.4×102人 | B． | 0.54×104人 | C． | 5.4×106人 | D． | 5.4×107人 |
如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC=35°，则∠BOC=70°．
如图，在正方形网格上有一个△DEF．| A． | 5 | B． | 3 | C． | 1 | D． | -1 |
如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则0.8或2秒钟后△PBQ与△ABC相似？