Question

19．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=8，点C是半径OA上一动点（点C与点O、A不重合），过点C作AB的垂线交⊙O于点D，连结OD，过点B作BF∥OD交⊙O于点E、交射线CD于点F．
（1）若$\widehat{ED}$=$\widehat{BE}$，求∠F的度数；
（2）①求证：BE=2OC；
②设CO=x，EF=y，写出y与x之间的函数关系式．
（3）设点C关于直线OD的对称点为P，若△PBE为等腰三角形，求OC的长．

Answer 1

分析 （1）首先连接OE，$\widehat{ED}=\widehat{BE}$，OD∥BF，易得∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，又由CF⊥AB，即可求得∠F的度数；
（2）①作OH⊥BE，垂足为H，易得△HBO≌△COD，即可得CO=BH=x，求得BE=2x，得出BE=2CO，
②易得△COD∽△CBF，然后由相似三角形的对应边成比例，可得$\frac{4}{2x+y}=\frac{x}{4+x}$，则可求得y与x之间的函数解析式；
（3）由∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，可得∠COD=∠DOE，即可得C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，然后分别从PB=PE，EB=EP，BE=BP去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）连接OE，
∵$\widehat{ED}=\widehat{BE}$，
∴∠BOE=∠EOD，
∵OD∥BF，
∴∠DOE=∠BEO，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OBE=∠OEB=∠BOE=60°，
∵CF⊥AB，
∴∠FCB=90°，
∴∠F=30°；
（2）①如图，
作OH⊥BE，垂足为H，
∵在△HBO和△COD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DCO=∠OHB}\\{∠OBE=∠COD}\\{OB=OD}\end{array}\right.$

∴△HBO≌△COD（AAS），
∴CO=BH=x，
∴BE=2x，
∴BE=2CO
②∵OD∥BF，
∴△COD∽△CBF，
∴$\frac{OD}{BF}=\frac{OC}{BC}$，
$\frac{4}{2x+y}=\frac{x}{4+x}$，
∴y=$\frac{-2{x}^{2}+4x+16}{x}$（0＜x＜4）；

（3）∵∠COD=∠OBE，∠OBE=∠OEB，∠DOE=∠OEB，
∴∠COD=∠DOE，
∴C关于直线OD的对称点为P在线段OE上，
若△PBE为等腰三角形，
设CO=x，
∴OP=OC=x，
则PE=OE-OP=4-x，
由（2）得：BE=2x，
①当PB=PE，不合题意舍去；
②当EB=EP，2x=4-x，
解得：x=$\frac{4}{3}$，
③如图2，

当BE=BP，作BM⊥OE，垂足为M，
∴EM=$\frac{1}{2}$PE=$\frac{4-x}{2}$，
∴∠OEB=∠COD，∠BME=∠DCO=90°，
∴△BEM∽△DOC，
∴$\frac{BE}{DO}=\frac{EM}{OC}$，
∴$\frac{2x}{4}=\frac{\frac{4-x}{2}}{x}$
整理得：x²+x-4=0，
解得：x=$\frac{-1±\sqrt{17}}{2}$（负数舍去），
综上所述：当OC的长为$\frac{4}{3}$或$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$时，△PBE为等腰三角形．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等性质．此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用