在平面直角坐标系中.O是坐标原点.矩形OABC的位置如图所示.点A.C的坐标分别为．点P是y轴正半轴上的一个动点.将△OAP沿AP翻折得到△O′AP.直线BC与直线O′P交于点E.与直线OA'交于点F．(1)当点P在y轴正半轴.且∠OAP=30°时.求点O′的坐标,(2)当O′落在直线BC上时.求直线O′A的解析式,(3)当点P在矩形OABC边OC的运动过程中.是否存在某一时刻.使得� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

12．

在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的位置如图所示，点A，C的坐标分别为（10，0），（0，8）．点P是y轴正半轴上的一个动点，将△OAP沿AP翻折得到△O′AP，直线BC与直线O′P交于点E，与直线OA'交于点F．
（1）当点P在y轴正半轴，且∠OAP=30°时，求点O′的坐标；
（2）当O′落在直线BC上时，求直线O′A的解析式；
（3）当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，是否存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，根据AO=AO′，∠O′AO=2∠OPA=60°，即可得出△O′AO是等边三角形，再结合点A的坐标即可得出点O′的坐标；
（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b，根据勾股定理可得出BO′的长度，再根据O′在线段BC上和O′在CB延长线上分两种情况考虑，由此即可得出点O′的坐标，结合点AO′的坐标利用待定系数法即可得出直线O′A的解析式；
（3）假设存在，设点P（0，m），根据点O′在直线BC的上下两侧来分类讨论．根据平行线的性质找出相等的角从而得出两三角形相似，再根据相似三角形的性质（或等角的三角函数值相等）找出边与边之间的关系，由此即可列出关于m的方程，解方程即可得出结论．

解答 25．解：（1）连接O′O，作O′G⊥OA于点G，如图1所示．
∠O′AO=2∠OPA=60°，AO=AO′，
∴△O′AO是等边三角形，
∵点A的坐标为（10，0），
∴OA=10，OG=$\frac{1}{2}$OA=5，O′G=$\frac{\sqrt{3}}{2}$OA=5$\sqrt{3}$，
∴点O′的坐标为（5，5$\sqrt{3}$）．
（2）设直线O′A的解析式为y=kx+b．
在Rt△ABO′中，AO′=10，AB=8，
∴BO′═6，
①当O′在线段BC上时，CO′=10-6=4，
∴点O′的坐标为（4，8），
则有$\left\{\begin{array}{l}{0=10k+b}\\{8=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=\frac{40}{3}}\end{array}\right.$，
∴此时直线O′A的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{40}{3}$；
②当O′在CB延长线上时，CO′=10+6=16，
∴点O′的坐标为（16，8），
则有$\left\{\begin{array}{l}{0=10k+b}\\{8=16k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{3}}\\{b=-\frac{40}{3}}\end{array}\right.$
∴此时直线O′A的解析式为y=$\frac{4}{3}$x-$\frac{40}{3}$．
（3）假设存在，由点O′的位置不同分两种情况：
①当点O′在BC的上方时，设点P（0，m），过点O′作O′G⊥OA于点G，过点P作PQ⊥O′G于点Q，如图2所示．
∵OP=CF，
∴BF=BC-CF=10-m，
∵点C（0，8），
∴AB=OC=8．
在Rt△ABF中，AB=8，BF=10-m，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{64+（10-m）^{2}}$．
∵O′G⊥x轴，AB⊥OA，
∴O′G∥AB，
∴△O′GA∽△ABF，
∴$\frac{O′G}{AB}=\frac{AG}{BF}=\frac{AO′}{AF}$，
∴O′G=$\frac{80}{\sqrt{64+（10-m）^{2}}}$，AG=$\frac{10•（10-m）}{\sqrt{64+（10-m）^{2}}}$，
∴O′Q=O′G-OP=$\frac{80}{\sqrt{64+（10-m）^{2}}}$-m，PQ=OA-AG=10-$\frac{10•（10-m）}{\sqrt{64+（10-m）^{2}}}$．
∵∠PO′Q+∠O′PQ=90°，∠PO′Q+∠AO′G=90°，
∴∠O′PQ=∠AO′G=∠FAB，
∴$\frac{PQ}{AB}=\frac{PO′}{AF}$，
∴PQ=$\frac{8m}{\sqrt{64+（10-m）^{2}}}$=10-$\frac{10•（10-m）}{\sqrt{64+（10-m）^{2}}}$，
解得：m₁=$\frac{20}{3}$，m₂=10，
经检验m₁=$\frac{20}{3}$是分式方程的解，
此时点P的坐标为（0，$\frac{20}{3}$）；
②当点O′在BC的下方时，设AF与y轴的交点为M，如图3所示．
设点P（0，m），则CF=OP=m，
BF=10+m，AB=8，OA=10，AF=$\sqrt{A{B}^{2}+B{F}^{2}}$=$\sqrt{64+（10+m）^{2}}$．
∵BC∥AO，
∴∠AFB=∠MAO，
∴$\frac{AB}{OM}=\frac{BF}{OA}$，
∴OM=$\frac{80}{10+m}$，
∴PM=OM-OP=$\frac{80}{10+m}$-m，
∵∠MPO′与∠AMO互余，
∴∠MPO′=∠AFB，
∴$\frac{PO′}{PM}=\frac{BF}{AF}$，即$\frac{m}{\frac{80}{10+m}-m}=\frac{10+m}{\sqrt{64+（10+m）^{2}}}$，
解得：m₃=$\frac{20}{7}$，m₄=-10（舍去），
经检验m₃=$\frac{20}{7}$是分式方程的解，
此时点P的坐标为（0，$\frac{20}{7}$）．
综上可知：当点P在矩形OABC边OC的运动过程中，存在某一时刻，使得线段CF与线段OP的长度相等，点P的坐标为（0，$\frac{20}{3}$）或（0，$\frac{20}{7}$）．

点评本题考查了等边三角形的判定及性质、待定系数法求函数解析式、平行线的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是：（1）得出△O′AO是等边三角形；（2）分两种情况求出点O′的坐标；（3）分情况找出关于m的方程．本题属于中档题，难度不大，尤其在解决（3）时，往往只会考虑到第一种情况而忘记第二种情况造成失分，因此在日常练习中要注意培养考虑问题的全面性．