Question

13．如图，在△ABC中，已知∠ABC=45°，过点C作CD⊥AB于点D，过点B作BM⊥AC于点M，CD与BM相交于点E，且点E是CD的中点，连接MD，过点D作DN⊥MD，交BM于点N．
（1）求证：△DBN≌△DCM；
（2）请探究线段NE、ME、CM之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）根据两角夹边相等的两个三角形全等即可证明．
（2）结论：NE-ME=CM．作DF⊥MN于点F，由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN，由△DEF≌△CEM，推出ME=EF，CM=DF，由此即可证明．

解答 （1）证明：∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴∠ABC=∠DCB=45°，
∴BD=DC，
∵∠BDC=∠MDN=90°，
∴∠BDN=∠CDM，
∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠ABM=90°-∠A=∠ACD，
在△DBN和△DCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BDN=∠CDM}\\{BD=DC}\\{∠DBN=∠DCM}\end{array}\right.$，
∴△DBN≌△DCM．

（2）结论：NE-ME=CM．                                 
证明：由（1）△DBN≌△DCM 可得DM=DN．
作DF⊥MN于点F，又 ND⊥MD，
∴DF=FN，
在△DEF和△CEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DEF=∠CEM}\\{∠DFE=∠CME}\\{DE=EC}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CEM，
∴ME=EF，CM=DF，
∴CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．