题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点P为抛物线上一动点，过点P作PQ∥BC交抛物线于点Q，P、Q两点之间的距离为m．
（1）求直线BC的解析式；
（2）取线段BC的中点M，连接PM．当m最小时，判断以点P、O、M、B为顶点的四边形是什么特殊的平行四边形，并说明理由；
（3）设N为y轴上一点，在（2）的基础上，当∠OBN＝2∠OBP时，求点N的坐标．
【答案】（1）
；（2）以点P，O，M，B为顶点的四边形是菱形；（3）点N的坐标为（0， 
）或（0，－ 
）．
【解析】试题分析：
（1）由抛物线
与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C可求得A、B、C三点的坐标，再由B、C的坐标即可求得直线BC的解析式为： 
；
（2）由PQ∥BC可设直线PQ的解析式为
，由m最小时，点P与点Q重合，可知此时直线
与抛物线只有一个交点，由此可求得n的值，进而可解得此时点P的坐标，结合点M、O、B的坐标即可判断四边形BMOP是菱形；
（3）由四边形BMOP是菱形可知∠MBO ＝∠OBP，此时，若点N在x轴上方，则由∠OBN＝2∠OBP，可得∠OBC＝∠CBN，如下图，作CE⊥BN于点E，证△NCE∽△NBO，结合其它已知条件即可求得ON的长，从而得到点N的坐标；利用对称性即可得到点N在x轴下方时的坐标.
试题解析：
（1）在
中令y＝0，则
，
解得：x1＝1，x2＝4；令x=0，则y=2；
∴A（1，0） ，B（4，0），C（0，2）；
设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则
，解得： 
，
∴直线BC的解析式
．
（2）以点P，O，M，B为顶点的四边形是菱形，理由如下：
∵m取最小值时P，Q两点重合，
∴此时直线PQ与抛物线只有一个交点，
由PQ∥BC可设直线PQ的解析式为
，
由
，得
，
∵PQ和抛物线此时只有一个交点，
∴△＝
，解得n＝0，
∴此时直线PQ的解析式为
，方程
为
，解得： 
，
∴此时点P的坐标为：（2，－1）．
∵点M为Rt△BOC的斜边BC的中点，
∴OM＝BM，M的坐标为：（2，1），
∴点P和点M关于x轴对称，
∴PM被x轴垂直平分，
∴OM＝OP，BM＝BP，
∴OM＝OP＝BM＝BP，
∴四边形POMB为菱形．
（3）∵四边形POMB为菱形，∴OB平分∠MBP．∴∠MBO ＝∠OBP．
当点N在x轴上方时，如下图，
∵∠OBN＝2∠OBP，
∴∠OBC＝∠CBN．
作CE⊥BN，垂足为E．∵∠COB＝90，
∴CE＝CO＝2，易得BO＝BE＝4，△NCE∽△NBO，
∴
．即
，
∴NC＝
，
∴NO＝
，
∴当点N在x轴上方时，点N的坐标为（0， 
）．
根据对称性可得，当点N在x轴下方时，点N的坐标为（0，－ 
）．
综上所述：点N的坐标为（0， 
）或（0，－ 
）．
【题目】某校八年级在一次广播操比赛中，三个班的各项得分如下表：
服装统一 | 动作整齐 | 动作准确 | |
八（1）班 | 80 | 84 | 87 |
八（2）班 | 97 | 78 | 80 |
八（3）班 | 90 | 78 | 85 |
(1) 填空：根据表中提供的信息，在服装统一方面，三个班得分的平均数是_________；在动作准确方面最有优势的是_________班
(2) 如果服装统一、动作整齐、动作准确三个方面按20%、30%、50%的比例计算各班的得分，请通过计算说明哪个班的得分最高
