Question

19．已知关于x的一元二次方程x²-6x-k²=0（k为常数）．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设x₁、x₂为方程的两个实数根，且2x₁+x₂=14，试求出方程的两个实数根和k的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的各项系数结合根的判别式即可得出△=4k²+36≥36，由此即可得出结论；
（2）根据根与系数的关系可得出x₁+x₂=6①、x₁•x₂=-k²，结合2x₁+x₂=14②，联立①②成方程组，解方程组即可得出方程的两根，再将其代入x₁•x₂=-k²中，即可得出k的值．

解答 （1）证明：在方程x²-6x-k²=0中，△=（-6）²-4×1×（-k²）=4k²+36≥36，
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵x₁、x₂为方程的两个实数根，
∴x₁+x₂=6①，x₁•x₂=-k²，
∵2x₁+x₂=14②，
联立①②成方程组$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=6}\\{2{x}_{1}+{x}_{2}=14}\end{array}\right.$，
解之得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=8}\\{{x}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∴x₁•x₂=-k²=-16，
∴k=±4．

点评 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，熟练掌握当△＞0时方程有两个不相等的实数根是解题的关键．