如图.在平面直角坐标系中.矩形ABCO的面积为60.边OA比边OC大4.E为BC的中点.以OE为直径的⊙O′交x轴于D点.过D点作DF⊥AE于F．(1)求OA.OC的长,(2)求证:DF为⊙O′的切线,(3)若点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿着射线CB运动.则运动t秒后.使得点P.O.A构成以OA为腰的等腰三角形．①求t的值,②当点P.O.A构成以OA为腰的等腰三角形时.直接� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为60，边OA比边OC大4，E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交x轴于D点，过D点作DF⊥AE于F．
（1）求OA，OC的长；
（2）求证：DF为⊙O′的切线；
（3）若点P从点C出发以每秒2个单位的速度沿着射线CB运动，则运动t秒后，使得点P、O、A构成以OA为腰的等腰三角形．
①求t的值；
②当点P、O、A构成以OA为腰的等腰三角形时，直接写出点P与以O为圆心OA长为半径的圆的位置关系．

分析（1）根据矩形面积公式得方程求解；
（2）由E是BC中点，OC=AB，∠C=∠B可证△ABE≌△OCE，则OE=AE，再连接O′D，证∠O′DF=90°．
（3）①分别以∠AOP、∠OAP为顶角讨论P点位置，借助于勾股定理求出CP长度，进而确定t的值；
②在①的基础上分三种情况，写出点P与以O为圆心OA长为半径的圆的位置关系．

解答（1）解：设OC=x，则OA=x+4，根据题意得：
x（x+4）=60．
解得：x=6或x=10（舍去），
即OC=6．
则OA=6+4=10．
（2）证明：∵E为BC的中点，
∴CE=BE．
在△ABE和△OCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BE}\\{∠OCE=∠B}\\{OC=AB}\end{array}\right.$
∴△ABE≌△OCE
∴OE=AE．
如图1，连接O′D．

∵OE=AE，O′O=O′D，
∴∠EOD=∠EAO=∠O′DO．
∵DF⊥AE，
∴∠EAO+∠ADF=90°．
∴∠O′DO+∠ADF=90°
∴∠O′DF=90°，DF是⊙O′的切线；
（3）解：如图，

①当AP₁=AO时，则$B{P}_{1}=\sqrt{A{{P}_{1}}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}=8$，
∴CP₁=BC-BP₁=10-8=2，
∴t=2÷2=1（秒）；
当OP₂=OA时，则$C{P}_{2}=\sqrt{O{P}_{2}-O{C}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴t=8÷2=4（秒）；
当OA=AP₃时，则$B{P}_{3}=\sqrt{A{{P}_{3}}^{2}-A{B}^{2}}=\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴CP₃=CB+BP₃=10+8=18，
∴t=18÷2=9（秒）；
∴t=1秒或4秒或9秒．
②当AP₁=AO时，即t=1秒，点P在以O为圆心OA长为半径的圆内；
当OP₂=OA时，即t=4秒，点P在以O为圆心OA长为半径的圆上；
当OA=AP₃时，即t=9秒，点P在以O为圆心OA长为半径的圆外．

点评本题主要考查切线的判定和矩形的性质、等腰三角形的判定及勾股定理等知识的综合应用．在（1）中注意方程思想的应用；在（2）中注意证明切线的两种方法，即有切点时连接圆心和切点，证明垂直，没有切点时作垂直，证明距离等于半径；在（3）中注意分类讨论思想的运用．本题综合性较强，待查知识点较多，在平时的学习中要注意知识的灵活运用．