Question

4．如图，BD和CE是△ABC的高，点M为BC的中点，连接DE，过点M作DE的垂线，垂足为点P．若PM=5，DE=6，tan∠DBC=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，则CD的长为$\frac{2\sqrt{102}}{3}$．

Answer 1

分析 先利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，得出MD=MD即可得出PD=PE=3，再用勾股定理求出MD，最后用三角函数和勾股定理即可得出结论．

解答 解：如图，连接MD，ME，

∵BD和CE是△ABC的高，点M为BC的中点，
∴MD=ME=$\frac{1}{2}$BC，
∵MP⊥DE，
∴PD=PE=$\frac{1}{2}$DE=3，
在Rt△PDM中，PD=3，PM=5，
∴MD=$\sqrt{34}$，
∴BC=2MD=2$\sqrt{34}$，
∵tan∠DBC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
∴BD=$\sqrt{2}CD$，
根据勾股定理得，CD²+BD²=BC²，
∴CD²+2CD²=4×34，
∴CD=$\frac{2\sqrt{102}}{3}$或CD=-$\frac{2\sqrt{102}}{3}$（舍），
故答案为：$\frac{2\sqrt{102}}{3}$．

点评 此题是直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，锐角三角函数，解本题的关键是求出MD．