Question

3．如图，已知Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=6，BO=4，点E、M是线段AB上的两个不同的动点（不与端点重合），分别过E、M作AO的垂线，垂足分别为K、L．
（1）△OEK面积S的最大值为3；
（2）若以OE、OM为边构造平行四边形EOMF，若EM⊥OF，则OK+OL=$\frac{48}{13}$．

Answer 1

分析 （1）根据条件证明△OBA∽△KEA，得到比例式，用含OK的式子表示KE，根据三角形的面积公式，列出关于OK的关系式即可；
（2）根据菱形的性质和勾股定理，利用一元二次方程根与系数的关系，求出答案．

解答 解：（1）如图，∵EK⊥OA，∠AOB=90°，
∴△OBA∽△KEA，
∴$\frac{OB}{KE}=\frac{OA}{KA}$，即 $\frac{4}{KE}=\frac{6}{6-OK}$，
∴KE=$\frac{2（6-OK）}{3}$，
∴S=$\frac{1}{2}$×OK•KE=$\frac{1}{2}$×OK×$\frac{2（6-OK）}{3}$，
设OK=x，则S=$\frac{1}{2}$×x×$\frac{2（6-x）}{3}$=$-\frac{1}{3}{x}^{2}+2x$，
∴当x=3 时，S有最大值，最大值=-3+6=3；

（2）如图，当EM⊥OF时，平行四边形EOMF为菱形，OE的取值范围为$\frac{12}{13}\sqrt{13}$＜OE＜4，
设OK=a，OL=b，
由（1）得，KE=$\frac{2（6-a）}{3}$，ML=$\frac{2（6-b）}{3}$，
由OE=OM得，
a²+[$\frac{2（6-a）}{3}$]²=b²+[$\frac{2（6-b）}{3}$]²．
若设y=x²+[$\frac{2（6-x）}{3}$]²=$\frac{13}{9}$x²-$\frac{16}{3}$ x+16，则
当x₁=a，x₂=b时，函数y的值相等．
∵函数y的对称轴为直线x=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{24}{13}$，
∴$\frac{a+b}{2}$=$\frac{24}{13}$，
解得a+b=$\frac{48}{13}$，即OK+OL=$\frac{48}{13}$．
故答案为：（1）3；（2）$\frac{48}{13}$．

点评 本题综合考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、一元二次方程以及二次函数的应用，综合性很强，属于较难题．解题时注意：对角线互相垂直的平行四边形为菱形．