Question

12．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点B为y轴正半轴上一点，点C是第一象限内一动点，且AC的长始终为2，则∠BOC度数的取值范围为60°≤∠BOC＜90°．

Answer 1

分析 C在以A为圆心，以2为半径的圆周上，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，根据勾股定理求出此时的OC，求出∠BOC=∠CAO，根据解直角三角形求出此时的值，根据tan∠BOC的增减性，即可求出答案．

解答 解：C在以A为圆心，以2为半径作圆，只有当OC与圆A相切（即到C点）时，∠BOC最小，
∵AC=2，OA=4，
∴OC=$\sqrt{{OA}^{2}{-AC}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵∠BOA=∠ACO=90°，
∴∠BOC+∠AOC=90°，∠CAO+∠AOC=90°，
∴∠BOC=∠OAC，
tan∠BOC=tan∠OAC=$\frac{OC}{AC}$=$\sqrt{3}$，
∴∠BOC=60°
随着C的移动，∠BOC越来越大，
∵C在第一象限，
∴C不到x轴点，
即∠BOC＜90°，
∴60°≤∠BOC＜90°，
故答案为：60°≤∠BOC＜90°．

点评 本题考查了解直角三角形，勾股定理，切线的性质等知识点的应用，能确定∠BOC的变化范围是解此题的关键，题型比较好，但是有一定的难度．