Question

7．已知矩形ABCD中，AB=2，AD=5，点E是AD边上一动点，连接BE，CE，以BE为直径作⊙O，交BC于点F，过点F作FH⊥CE于点H，直线FH交⊙O于点G．
（1）当直线FH与⊙O相切时，求AE的长；
（2）当FH∥BE时，求FG的长．

Answer 1

分析 （1）连接EF，FA，由CE为圆的切线且又和EB垂直，可知CE∥FA，推出∠CEF=∠AFE，而∠AFE=∠FEB可得∠CEF=∠BEF，所以EF为∠BEC的平分线．又因为∠EFB为直角可知EF⊥BC，所以△BEC为等腰三角形，得到BF为BC的一半，又因为EA∥CF，可知四边形CEAF为平行四边形，即AD=BF=2.5；
（2）作OM⊥FG于点M，连接OF，先证明△ABE∽△CDE，得出$\frac{AE}{CD}$，求出AE=1或AE=4；①当AE=1时，证明△CFH∽△CBE，得出比例式$\frac{CH}{CE}$，求出CH、OM，根据勾股定理求出FM，即可得出FG=2FM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；②当AE=4时，同①得出△CFH∽△CBE，得出$\frac{CH}{CE}$，求出CH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，得出OM，由勾股定理求出FM，即可得出FG．

解答 解：（1）如图1，连接EF，FA，
∵CE为圆的切线且又和EB垂直，
∴CE∥AF
∴∠CEF=∠AFE；
又∵∠AFE=∠FEB，
∴∠CEF=∠BEF，
∴EF为∠BEC的平分线；
∵∠EFB=90°，
∴EF⊥BC，
∴BE=CE
∴△BEC为等腰三角形，
∴BF为BC的一半；
∵EA∥CF，
∴四边形CEAF为平行四边形，
即EA=CF=2.5；
（2）解：如图2，作OM⊥FG于点M，连接OF，
∵FH∥BE，
∴∠BEC=∠FHC=90°，
∠HFC=∠EBF，
又∵∠HFC+∠FCH=90°，∠EBF+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠FCH，
∵∠ABE+∠AEB=90°，∠FCH+∠DCE=90°，
∴∠AEB=∠DCE，
∴△ABE∽△CDE，
∴$\frac{AE}{CD}$，
∴$\frac{AE}{2}$，
解得：AE=1或AE=4；
①当AE=1时，BF=1，DE=CF=4，
∴BE=$\sqrt{5}$，CE=2$\sqrt{5}$，OF=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=5，
∵FH∥BE，
∴△CFH∽△CBE，
∴$\frac{CH}{CE}$，即$\frac{CH}{2\sqrt{5}}$，
∴CH=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，
∴OM=EH=CE-CH=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴FM=$\sqrt{{OF}^{2}{-OM}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$，
∴FG=2FM=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$；
②当AE=4时，BF=4，DE=CF=1，
∴BE=2$\sqrt{5}$，CE=$\sqrt{5}$，OG=$\sqrt{5}$，
∵△CFH∽△CBE，
∴$\frac{CH}{CE}$，即$\frac{CH}{\sqrt{5}}$，
∴CH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴OM=EH=CE-CH=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∴FM=$\sqrt{{OG}^{2}{-OM}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴FG=2FM=$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；
综上所述：FG的长为：$\frac{3\sqrt{5}}{5}$或$\frac{6\sqrt{5}}{5}$；

点评 本题考查了圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、切线的判定等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（2）中，需要进行分类讨论和证明三角形相似才能得出结果．