Question

已知：如图，在四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且EF=

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（AD+BC）．求证：AD∥BC．

Answer 1

考点：梯形中位线定理

专题：证明题

分析：取BD的中点H，连接EH、FH，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH=

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AD，EH∥AD，FH=

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BC，FH∥BC，然后求出EH+FH=EF，从而得到E、F、H三点共线，再根据平行公理可得AD∥BC．

解答：证明：取BD的中点H，连接EH、FH，
∵E，F分别是AB，CD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，FH是△BCD的中位线，
∴EH=

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AD，EH∥AD，FH=

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BC，FH∥BC，
∴EF+FH=

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（AD+BC），
∵EF=

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（AD+BC），
∴EH+FH=EF，
∴E、F、H三点共线，
∴AD∥EF∥BC，
故AD∥BC．

点评：本题考查了梯形的中位线的证明，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记定理是解题的关键．