Question

如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，OC与⊙O相交于点E，且OB⊥OC．
（1）求证：∠CAD=∠CDA；
（2）若AC=6，CE=2

3

时，求图中阴影部分面积．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）根据垂直的定义可证明：∠CDA+∠OBD=90°，根据切线的性质可证明：∠CAD+∠OAD=90°，因为∠OBD=∠OAD，所以：∠CAD=∠CDA；
（2）利用切割线定理可求出圆的半径长度，再把阴影部分的面积转化为扇形的面积-△AOB的面积即可的问题答案．

解答：（1）证明：∵OB⊥OC，
∴∠BOD=90°，
∴∠CDA+∠OBD=90°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∴∠CAD+∠OAD=90°，
∵OB=OA，
∴∠OBD=∠OAD，
∴∠CAD=∠CDA；
（2）∵AC是⊙O的切线，
∴AC²=CE•（CE+2R），
∵AC=6，CE=2

3

，
∴R=2

3

，
∴∠C=30°，
∴∠AOB=90°+60°=150°，
∴图中阴影部分面积=

150×π×(2 3 )2

360

-S_△AOB=5π-2

3

．

点评：本题考查了切线的性质、圆的半径处处相等的性质．切割线定理以及扇形的面积公式运用，解题的关键是根据已知条件求出扇形圆心角的度数．