Question

如图，已知在正方形ABCD中，AE∥BD，BE=BD，BE交AD于F．求证：DE=DF．

Answer 1

考点：正方形的性质,等腰三角形的性质,含30度角的直角三角形

专题：证明题

分析：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G，则可知四边形AOGE是矩形，可证得EG=

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BD=

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BE，所以∠EBD=30°，结合条件可求得∠BED=75°，∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，故∠DEF=∠DFE，即可得到DF=DE．

解答：证明：连接AC，交BD于点O，作EG⊥BD于点G．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵AE∥BD，
∴四边形AOGE是矩形，
∴EG=AO=

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AC=

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BD=

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BE，
∴∠EBD=30°，
∵∠EBD=30°，BE=BD，
∴∠BED=75°，
∵∠EFD=∠FDB+∠EBD=45+30=75°，
∴∠DEF=∠DFE，
∴DF=DE．

点评：本题主要考查正方形的性质及等腰三角形的性质的应用，解题的关键是作出辅助线求得∠EBD=30°．