Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠CBD=∠BAD，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，延长AC交PB于点D．连接OP．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若DB=2，DC=1，AC=3，求BC的长．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：（1）根据切线长定理得PA=PB，PO平分∠APB，则根据等腰三角形的性质得PO⊥AB，在根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，然后根据平行线的判定方法即可得到OP∥CB；
（2）先证明△DBC∽△DAB，利用相似比得到AB=2BC，然后在Rt△ABC中根据勾股定理可计算出BC．

解答：（1）证明：∵PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴PA=PB，PO平分∠APB，
∴PO⊥AB，
∵AC为直径，
∴∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∴OP∥CB；

（2）解：∵∠CBD=∠BAD，∠BDC=∠ADB，
∴△DBC∽△DAB，
∴

BC

AB

=

DB

DA

=

2

1+3

=

1

2

，
∴AB=2BC，
在Rt△ABC中，∵AB²+BC²=AC²，
∴（2BC）²+BC²=3²，
∴BC=

3 5

5

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了切线长定理和勾股定理．