Question

13．如图，四边形ABCD是平行四边形，连接AC并延长到点F，连接DF并延长到点E，使FE=DF，连接BE．
（1）求证：AF∥BE；
（2）若AC=2CF，∠DAC=30°，DC⊥AF，AD=2cm，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）连接BD交AC于O，由平行四边形的性质得出OA=OC，OB=OD，证出OF是△BDE的中位线，由三角形中位线定理即可得出结论；
（2）由直角三角形的性质得出DC=$\frac{1}{2}$AD=1cm，由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，求出OF=2CF=$\sqrt{3}$，再由三角形中位线定理得出BE=2OF=2$\sqrt{3}$即可．

解答 （1）证明：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵FE=DF，
∴OF是△BDE的中位线，
∴AF∥BE；
（2）解：∵∠DAC=30°，DC⊥AF，AD=2cm，
∴DC=$\frac{1}{2}$AD=1cm，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-D{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$cm，
∵AC=2CF，
∴CF=OC=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴OF=2CF=$\sqrt{3}$，
∵OF是△BDE的中位线，
∴BE=2OF=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、直角三角形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证出OF是△BDE的中位线是解决问题的关键．