Question

18．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，AM⊥AD，交DC的延长线于点M，连接BM．
（1）求证：△DAC≌△MAB；
（2）求BD的长．

Answer 1

分析 （1）证出△ADM、△ABC是等腰直角三角形，得出AD=AM，AC=AB，∠DAM=∠CAB=90°，∠ADM=45°，证出∠DAC=∠MAB，由SAS证明△DAC≌△MAB即可；
（2）由全等三角形的性质得出AD=AM=4，CD=BM=3，∠AMB=∠ADM=45°，得出∠BMD=90°，由勾股定理求出DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，在Rt△BDM中，由勾股定理求出BD即可．

解答 （1）证明：∵∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，AM⊥AD，
∴△ADM、△ABC是等腰直角三角形，
∴AD=AM，AC=AB，∠DAM=∠CAB=90°，∠ADM=45°，
∴∠DAC=∠MAB，
在△DAC和△MAB中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}&{\;}\\{∠DAC=∠MAB}&{\;}\\{AC=AB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DAC≌△MAB（SAS）；
（2）解：∵△DAC≌△MAB，
∴AD=AM=4，CD=BM=3，∠AMB=∠ADM=45°，
∴∠BMD=45°+45°=90°，
∵DM=$\sqrt{A{D}^{2}+A{M}^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
∴在Rt△BDM中，BD=$\sqrt{D{M}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{32+9}$=$\sqrt{41}$．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．