Question

2．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ADC+∠ABC=180°．
（1）求证：CD=CB；
（2）若BC=10，AB=21，AD=9，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，利用角平分线的性质得出CE=CF，证得△CBE≌△CDF，得出结论即可；
（2）由HL证明Rt△ACE≌Rt△ACF，得出AE=AF，设AE=AF=x，则BE=AB-AE=21-x，DF=AF-AD=x-9，由全等三角形的性质得出BE=DF，得出方程21-x=x-9，解方程得出AE=15，BE=6，在Rt△BCE中，由勾股定理求出CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=8，在Rt△ACE中，由勾股定理求出AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=17．

解答 （1）证明：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，如图所示：
∴∠BEC=∠DFC=90°，
∵AC平分∠BAD，
∴CE=CF，
∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC=∠CDF，
在△CBE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BEC=∠DFC}&{\;}\\{∠ABC=∠CDF}&{\;}\\{CE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CBE≌△CDF（AAS），
∴CD=CB．
（2）解：在Rt△ACE和Rt△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=AC}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），
∴AE=AF，
设AE=AF=x，则BE=AB-AE=21-x，DF=AF-AD=x-9，
∵△CBE≌△CDF，
∴BE=DF，
∴21-x=x-9，解得：x=15，
∴AE=15，BE=21-15=6，
在Rt△BCE中，CE=$\sqrt{B{C}^{2}-B{E}^{2}}$=8，
在Rt△ACE中，AC=$\sqrt{A{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{1{5}^{2}+{8}^{2}}$=17．

点评 此题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理的综合运用；熟练掌握勾股定理，证明三角形全等是解决问题的关键．