Question

15．（1）如图，已知∠AOB=90°，∠BOC=40°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC．求∠MON的度数．
（2）如果（1）中的∠AOB=α，其他条件不变，求∠MON的度数．
（3）如果（1）中∠BOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON的度数．
（4）从（1）（2）（3）的结果中能得出什么结论？

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义得到∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，则∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可；
（2）根据角平分线的定义得到∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，则∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（∠AOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB，然后把∠AOB的度数代入计算即可；
（3）先得到∠AOC=90°+β，再根据角平分线的定义得到∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（90°+β），∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，然后利用∠MON=∠COM-∠CON进行计算；
（4）利用前面计算的结论得到∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB．

解答 解：（1）∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠AOB=90°，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$×90°=45°；

（2））∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠MOC=$\frac{1}{2}$∠AOC，∠NOC=$\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC，
∴∠MON=∠MOC-∠NOC=$\frac{1}{2}$（∠AOB+∠BOC-∠BOC）=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∵∠AOB=α，
∴∠MON=$\frac{1}{2}$×α=$\frac{α}{2}$；

（3）∵∠AOB=90°，∠BOC=β，
∴∠AOC=90°+β，
∵OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，
∴∠COM=$\frac{1}{2}$∠AOC=$\frac{1}{2}$（90°+β），∠CON=$\frac{1}{2}$∠BOC=$\frac{1}{2}$β，
∴∠MON=∠COM-∠CON=$\frac{1}{2}$（90°+β）-$\frac{1}{2}$β=45°；
（4）从（1）（2）（3）的结果中可以看出∠MON=$\frac{1}{2}$∠AOB，而与∠BOC的大小无关．

点评 本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．也考查了角平分线的定义．