Question

10．如图，二次函数y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）M为线段AB上一动点，过点M作MD∥BC交线段AC于点D，连接CM．
①当点M的坐标为（1，0）时，求点D的坐标；
②求△CMD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数与x轴的交点问题，通过解方程-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0可确定A点和B点坐标，计算当x=0时的函数值可得到C点坐标；
（2）①先利用待定系数法求出直线BC的解析式为y=-x+4，直线AC的解析式为y=2x+4，再利用直线平行问题可确定直线MD的解析式为y=-x+1，然后解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$可得点D的坐标；
②设M（t，0），则直线MD的解析式为y=-x+t，通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-x+t}\end{array}\right.$得D（$\frac{t-4}{3}$，$\frac{2t+4}{3}$），然后根据三角形面积公式和利用S_△CDM=S_△CAB-S_△ADM-S_△CMB得到S_△CDM=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$=-$\frac{1}{3}$（t-1）²+3，再根据二次函数的性质求解．

解答 解：（1）当y=0时，-$\frac{1}{2}$x²+x+4=0，解得x₁=-2，x₂=4，则A（-2，0），B（4，0），
当x=0时，y=-$\frac{1}{2}$x²+x+4=4，则C（0，4）；
（2）①设直线BD的解析式为y=kx+b，
把B（4，0），C（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{b=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$．
所以直线BC的解析式为y=-x+4，
设直线AC的解析式为y=px+q，
把A（-2，0），C（0，4）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-2p+q=0}\\{q=4}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{p=2}\\{q=4}\end{array}\right.$．
所以直线AC的解析式为y=2x+4，
因为直线MD∥BC，
所以直线MD的解析式可设为y=-x+n，
把M（1，0）代入得-1+n=0，解得n=1，
所以直线MD的解析式为y=-x+1，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-x+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=2}\end{array}\right.$，则点D的坐标为（-1，2）；
②设M（t，0），
直线MD的解析式为y=-x+t，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-x+t}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{t-4}{3}}\\{y=\frac{2t+4}{3}}\end{array}\right.$，则D（$\frac{t-4}{3}$，$\frac{2t+4}{3}$），
S_△CDM=S_△CAB-S_△ADM-S_△CMB
=$\frac{1}{2}$•4•（4+2）-$\frac{1}{2}$•（t+2）•$\frac{2t+4}{3}$-$\frac{1}{2}$•（4-t）•4
=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{2}{3}$t+$\frac{8}{3}$
=-$\frac{1}{3}$（t-1）²+3，
当t=1时，△CMD面积有最大值，最大值为3．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象与x轴的交点问题和二次函数的性质；会利用待定系数法求一次函数的解析式，理解两直线平行的问题；记住三角形面积公式．