Question

19．如图，AB＜AC，AD为△ABC的角平分线，E在AC上，AE=AB，BF∥DE交AD于F，求证：四边形BDEF为菱形．

Answer 1

分析 根据AD是∠BAC的平分线，得出∠CAD=∠DAE，在△ABD和△ADE中，根据全等三角形的判定得出△ABD≌△ADE和△BAF≌△EAF，得出BD=DE，BF=EF，在△BFD和△EDF中，再根据SSS得出△BFD≌△EDF，得出∠BFD=∠DFE，根据EF∥BC，得出∠DFE=∠FDC，从而得出∠BFD=∠BDF，即可得出BF=BD，从而得出四边形BDEF是菱形．

解答 解：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠CAD=∠DAE，
在△ABD和△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AE}\\{∠BAD=∠DAE}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ADE，
∴BD=DE，
同理△BAF≌△EAF，
∴BF=EF，∠AFB=∠AFE，
∴∠BFD=∠DFE，
又∵EF∥BC，
∴∠DFE=∠FDB，
∴∠BFD=∠BDF，
∴BF=BD，
∴BF=BD=EF=DE，
∴四边形BDEF是菱形

点评 此题考查了菱形的判定，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质与菱形的判定，判定菱形的方法常用三种方法：①定义；②四边相等；③对角线互相垂直平分．