Question

如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（-5，1），B（-2，4），C（5，4），点D在第一象限．
（1）写出D点的坐标；
（2）求经过B、D两点的直线的解析式，并求线段BD的长；
（3）将平行四边形ABCD先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度所得的四边形A₁B₁C₁D₁四个顶点的坐标是多少？并求出平行四边形ABCD与四边形A₁B₁C₁D₁重叠部分的面积．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：压轴题,待定系数法

分析：（1）根据点B、C的坐标求出BC的长度，再根据平行四边形的对边相等列式求出点D的横坐标，然后写出D点坐标即可；
（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；过点B作BE⊥AD于E，求出BE、DE的长，然后利用勾股定理列式计算即可得解；
（3）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出A₁、B₁、C₁、D₁的坐标，然后求出重叠部分平行四边形的底边和高，再根据平行四边形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵B（-2，4），C（5，4），
∴BC=5-（-2）=5+2=7，
∵A（-5，1），
∴点D的横坐标为-5+7=2，
∴点D的坐标为（2，1）；

（2）设直线BD的解析式为y=kx+b，
将B（-2，4）、D（2，1）代入得：

-2k+b=4 2k+b=1

，
解得

k=- 3 4 b= 5 2

，
∴经过B、D两点的直线的解析式为y=-

3

4

x+

5

2

，
过B点作AD的垂线，垂足为E，则BE=4-1=3，
DE=2-（-2）=2+2=4，
在Rt△BDE中，BD=

BE2+DE2

=

32+42

=5；

（3）∵?ABCD向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，
∴A₁（-4，0），B₁（-1，3），C₁（6，3）D₁（3，0），
∴重叠部分的底边长7-1=6，
高为3-1=2，
∴重叠部分的面积S=6×2=12．

点评：本题是一次函数综合题型，主要利用了平行四边形的性质，待定系数法求一次函数解析式，勾股定理的应用，难点在于（3）判断出重叠部分是平行四边形并且求出底边和高的长度．