Question

如图，在⊙O中，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC，FD分别交直径AB于E，F两点．
（1）求证：AE=BF；
（2）当弦CD与直径AB相交时，其他条件不变，结论成立吗？试另画出图形，不用证明；
（3）若把条件EC⊥CD，FD⊥CD改成AE⊥CD，BF⊥CD，AE，BF分别交CD于E，F两点，则结论会有什么变化？试另画图并加以证明．

Answer 1

考点：垂径定理,梯形中位线定理

专题：几何图形问题,探究型

分析：（1）过点O作OH⊥CD，根据垂径定理得到CH=DH，由于FD⊥CD，EC⊥CD，所以CE∥OH∥DF，于是可判断OH为梯形CDFE的中位线，则OE=OF，然后利用等量减等量差相等即可得到结论；
（2）当弦CD与直径AB相交时，根据叙述即可作出图形，与（1）的方法相同，即可写出结论；
（3）作OM⊥CD，根据垂径定理和平行线分线段成比例定理即可证得．

解答：（1）证明：过点O作OH⊥CD，如图1，
则CH=DH，
∵FD⊥CD，EC⊥CD，
∴CE∥OH∥DF，
∴OH为梯形CDFE的中位线，
∴点O为EF的中点，即OE=OF，
而OA=OB，
∴OA-OE=OB-OF，
即AE=BF；
（2）AE=DF．图形如2．
；
（3）如图3．结论：EC=DF．
证明：作OM⊥CD，则CM=DM．
∵AE⊥CD，BF⊥CD，
∴AE∥OM∥BF，
又∵OA=OB，
∴EM=FM，
∴EC=DF．

点评：本题考查了垂径定理和平行线分线段成比例定理，正确作出辅助线是关键．