题目内容

4.阅读理解:
材料一、对于二次三项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为(x+a)2的形式,但对于二次三项式x4-3x2+1,就不能直接用公式法了,我们可以把二次三项式x4-3x2+1中3x2拆成2x2+x2,于是
有x4-3x2+1=x4-2x2-x2+1=x4-2x2+1-x2=(x2-1)2-x2=(x2-x-1)(x2+x-1).
像上面这样把二次三项式分解因式的方法叫拆项法.
(1)请用上述方法对多项x4-7x2+9进行因式分解;
材料二、把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式,如何将$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$表示成部分分式?
设分式$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{m}{x-1}$$+\frac{n}{x+1}$,将等式的右边通分得:$\frac{m(x+1)+n(x-1)}{(x+1)(x-1)}$=$\frac{(m+n)x+m-n}{(x+1)(x-1)}$
由$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{(m+n)x+m-n}{(x-1)(x+1)}$得$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-3}\\{m-n=1}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-2}\end{array}\right.$,所以$\frac{1-3x}{{x}^{2}-1}$=$\frac{-1}{x-1}$$+\frac{-2}{x+1}$.
(2)请用上述方法将分式$\frac{4x-3}{(2x+1)(x-2)}$写成部分分式的和的形式.

分析 (1)利用拆项法进行因式分解即可;
(2)根据材料二提供的解题步骤与方法进行解答.

解答 解:(1)x4-7x2+9,
=x4-6x2+9-x2,
=(x2-3)2-x2,
=(x2-3+x)(x2-3-x);

(2)设分式$\frac{4x-3}{(2x+1)(x-2)}$=$\frac{m}{2x+1}$-$\frac{n}{x-2}$,
将等式的右边通分得:$\frac{m(x-2)-n(2x+1)}{(2x+1)(x-2)}$=$\frac{(m-2n)x-(2m+n)}{(2x+1)(x-2)}$,
由$\frac{4x-3}{(2x+1)(x-2)}$=$\frac{(m-2n)x-(2m+n)}{(2x+1)(x-2)}$得$\left\{\begin{array}{l}{m-2n=4}\\{2m+n=3}\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-1}\end{array}\right.$,
所以$\frac{4x-3}{(2x+1)(x-2)}$=$\frac{2}{2x+1}$+$\frac{1}{x-2}$.

点评 本题考查了因式分解的应用.熟悉材料提供的解题方法和步骤是解题的关键.

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