Question

14．【课本拓展】
我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的连个内角的和，那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？
【尝试探究】
（1）如图1，∠DBC与∠ECB分别为△ABC的两个外角，试探究∠A与∠DBC+∠ECB之间存在怎样的数量关系？为什么？
【初步应用】
（2）如图2，在△ABCA纸片中剪去△CED，得到四边形ABDE，∠1=130°，则∠2-∠C=50°；
（3）小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3，在△ABC中，BP、CP分别平分外角∠DBC、∠ECB，∠P与∠A有何数量关系？请直接写出结论．
【拓展提升】
（4）如图4，在四边形ABCD中，BP、CP分别平分外角∠EBC、∠FCB、∠P与∠A、∠D有何数量关系？为什么？（若需要利用上面的结论说明，可直接使用，不需说明理由）

Answer 1

分析 （1）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
（2）利用（1）中的结论即可求出；
（3）根据角平分线的定义可得∠PCE=$\frac{1}{2}$∠BCE，∠PBD=$\frac{1}{2}$∠CBD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
（4）根据四边形的内角和定理表示出∠BAD+∠CDA，然后同理（3）解答即可．

解答 解：（1）∠DBC+∠ECB
=180°-∠ABC+180°-∠ACB 
=360°-（∠ABC+∠ACB） 
=360°-（180°-∠A） 
=180°+∠A；
（2）∵∠1+∠2=∠180°+∠C，
∴130°+∠2=180°+∠C，
∴∠2-∠C=50°．
故答案为50°．
（3）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB=$\frac{1}{2}$（∠DBC+∠ECB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A），
在△PBC中，∠P=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=90°-$\frac{1}{2}$∠A．
（4）如图1，

延长BA、CD于Q，
则∠P=90°-$\frac{1}{2}$∠Q，
∴∠Q=180°-2∠P． 
∴∠BAD+∠CDA
=180°+∠Q
=180°+180°-2∠P
=360°-2∠P．

点评 本题是三角形综合题，考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．