Question

10．如图，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（-1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x=$\frac{3}{2}$对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA=MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x=$\frac{3}{2}$交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．

解答 解：（1）∵点A（-1，0）在抛物线y=$\frac{1}{2}{x}^{2}$+bx-2上，
∴$\frac{1}{2}×（-1）^{2}$+b×（-1）-2=0，
解得b=-$\frac{3}{2}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}$x-2．
y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}$x-2
=$\frac{1}{2}$（x²-3x-4 ）
=$\frac{1}{2}（x-\frac{3}{2}）^{2}-\frac{25}{8}$，
∴顶点D的坐标为 （$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$）．
（2）当x=0时y=-2，∴C（0，-2），OC=2．
当y=0时，$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}$x-2=0，
∴x₁=-1，x₂=4，
∴B （4，0）
∴OA=1，OB=4，AB=5．
∵AB²=25，AC²=OA²+OC²=5，BC²=OC²+OB²=20，
∴AC²+BC²=AB²．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （$\frac{3}{2}$，-$\frac{25}{8}$），
∴抛物线的对称轴为x=$\frac{3}{2}$，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx-2与x轴交于A，B两点，
∴点A与点B关于对称轴x=$\frac{3}{2}$对称，
∵A（-1，0）．
∴点B的坐标为（4，0），
当x=0时，y=$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{3}{2}$x-2=-2，
则点C的坐标为（0，-2），
则BC与直线x=$\frac{3}{2}$交点即为M点，如图，

根据轴对称性，可得MA=MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把C（0，-2），B（4，0）代入，可得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴y=$\frac{1}{2}$x-2，
当x=$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}-2$=-$\frac{5}{4}$，
∴点M的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{5}{4}$）．

点评 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数的解析式、直角三角形的性质及判定、轴对称性质，解决本题的关键是利用待定系数法求函数的解析式．