Question

11．如图，⊙O为△AEF的外接圆，BC与⊙O相切于点D，交AE，AF的延长线于点B，C．AD平分∠BAC，EF交AD于点G，若$\frac{EG}{GF}$=$\frac{4}{3}$．求$\frac{BD}{CD}$的值．

Answer 1

分析 连接DF，根据弦切角定理得到∠DAC=∠FDC，根据圆周角定理得到∠DAB=∠DFE，证明EF∥BC，根据相似三角形的性质计算即可．

解答 解：连接DF，
∵BC与⊙O相切，
∴∠DAC=∠FDC，
由圆周角定理得，∠DAB=∠DFE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠DAB，
∴∠DFE=∠FDC，
∴EF∥BC，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{AG}{AD}$，$\frac{GF}{DC}$=$\frac{AG}{AD}$，
∴$\frac{EG}{BD}$=$\frac{GF}{DC}$，即$\frac{BD}{CD}$=$\frac{EG}{GF}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理的应用，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．