Question

5．如图，在△ABC中，点D在BC上，EG∥BC分别交AB，AD，AC于点E，F，G．
（1）求证：AE：AF：AG=BE：DF：CG；
（2）若AD是中线，求证：EF=GF．

Answer 1

分析 （1）由EG∥BC可知$\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{DF}=\frac{AG}{GC}$，由比例的性质可知：AE：AF：AG=BE：DF：CG；
（2）根据已知条件得到△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC，推出$\frac{EF}{BD}=\frac{FG}{DC}$，根据BD=CD即可得到结论．

解答 证明：（1）∵EG∥BC，
∴$\frac{AE}{BE}=\frac{AF}{DF}=\frac{AG}{GC}$．
∴AE：AF：AG=BE：DF：CG．
（2）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABD，△AFG∽△ADC．
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{AF}{AD}$，$\frac{FG}{DC}=\frac{AF}{AD}$．
∴$\frac{EF}{BD}=\frac{FG}{DC}$．
∵AD为△ABC的边BC上的中线，
∴BD=CD．
∴GF=GE．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线分线段成比例定理、比例的性质，证得$\frac{EF}{BD}=\frac{FG}{DC}$是解题的关键．