Question

13．在平面直角坐标系中，设二次函数y₁=（x+a）（x-a-1），其中a≠0．
（1）若函数y₁的图象经过点（1，-2），求函数y₁的表达式；
（2）若一次函数y₂=ax+b的图象与y₁的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；
（3）已知点P（x₀，m）和Q（1，n）在函数y₁的图象上，若m＜n，求x₀的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）根据函数图象上的点满足函数解析式，可得答案；
（3）根据二次函数的性质，可得答案．

解答 解：（1）函数y₁的图象经过点（1，-2），得
（a+1）（-a）=-2，
解得a₁=-2，a₂=1，
函数y₁的表达式y=（x-2）（x+2-1），化简，得y=x²-x-2；
函数y₁的表达式y=（x+1）（x-2）化简，得y=x²-x-2，
综上所述：函数y₁的表达式y=x²-x-2；

（2）当y=0时（x+a）（x-a-1）=0，解得x₁=-a，x₂=a+1，
y₁的图象与x轴的交点是（-a，0），（a+1，0），
当y₂=ax+b经过（-a，0）时，-a²+b=0，即b=a²；
当y₂=ax+b经过（a+1，0）时，a²+a+b=0，即b=-a²-a；

（3）当P在对称轴的左侧（含顶点）时，y随x的增大而减小，
（1，n）与（0，n）关于对称轴对称，
由m＜n，得0＜x₀≤$\frac{1}{2}$；
当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而增大，
由m＜n，得$\frac{1}{2}$＜x₀＜1，
综上所述：m＜n，求x₀的取值范围0＜x₀＜1．

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解（1）的关键是利用待定系数法；解（2）的关键是把点的坐标代入函数解析式；解（3）的关键是利用二次函数的性质，要分类讨论，以防遗漏．