Question

5．在?ABCD中，AB=2BC=4，E、F分别为AB、CD的中点
①求证：△ADE≌△CBF；
②若四边形DEBF为菱形，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析 ①欲证明△ADE≌△CBF，只要证明AD=BC，∠A=∠C，AE=CF即可．
②连接BD，根据S_{四边形ABCD}=2S_△ABD，只要证明△ADB是直角三角形，求出AD、BD即可解决问题．

解答 ①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为AB、CD的中点，
∵AE=EB，DF=FC，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}\\{∠A=∠C}\\{AE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CBF，
②连接BD，
由①有AE=EB，
∵四边形DEBF是菱形，
∴DE=EB=AE，
∴△ADB是直角三角形，
在RT△ADB中，∵∠ADB=90°，AD=BC=2，AB=4，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S_{平行四边形ABCD}=2•S_△ADB=2×$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查菱形的性质、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的面积、直角三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，发现三角形△ADB是等边三角形是解题的关键，属于中考常考题型．