Question

6．如图，△ABC中，DE∥FG∥BC，
（1）若AD=DF=FB，则DE：FG：BC=1：2：3，S₁：S₂：S₃=1：3：5
（2）若S₁=S₂=S₃，则AE：AG：AC=1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，AE：EG：GC=1：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 （1）首先根据已知的平行线段，可判定△ADE∽△AFG∽△ABC，进而可由它们的相似比求得面积比，从而得到S₁、S₂、S₃的比例关系；
（2）相似三角形的面积比，等于对应边长比的平方，题中三部分面积相等，所以S△ADE：S△AFG=1：2，可得DE与FG的比，同理可得出三条线段的比．

解答 解：（1）∵DE∥FG∥BC，
∴DE：FG：BC=AD：AF：AB=1：2：3，△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴S_△ADE：S_△AFG：S_△ABC=AD²：（2AD）²：（3AD）²=1：4：9；
设S_△ADE=1，则S_△AFG=4，S_△ABC=9，
∴S₁=S_△ADE=1，S₂=S_△AFG-S_△ADE=3，S₃=S_△ABC-S_△AFG=5，
即S₁：S₂：S₃=1：3：5．
故答案为：1：2：3，1：3：5．

（2）解：∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∵S₁=S₂，∴S_△ADE：S_△AFG=1：2，
∴AE²：AG²=1：2，∴AE：AG=1：$\sqrt{2}$；
同理AD：AC=1：$\sqrt{3}$
∴AE：AG：AC═1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，
∴AE：EG：GC=1：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．
故答案为：1：$\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$，1：（$\sqrt{2}$-1）：（$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$）．

点评 此题主要考查的是相似三角形的判定和性质，理解相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．