Question

2．如图，正方形ABCD中，E为边AB上的中点，连接CE，将△BEC翻折，使点B落在点F处，对角线BD与CF，CE分别交于点N，M，CF的延长线与AD交于点G，如果正方形边长为4，则线段MN的长为$\frac{20\sqrt{3}}{7}$．

Answer 1

分析 连接EG，由E为边AB上的中点，得到AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，根据全等三角形的性质得到AG=GF，设AG=GF=x，根据勾股定理得到AG=GF=1，求得DG=3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：连接EG，
∵E为边AB上的中点，
∴AE=BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
∵将△BEC翻折，使点B落在点F处，
∴EF=BE=2，∠A=∠EFC=∠EFG=90°，
在Rt△AEG与Rt△EFG中，$\left\{\begin{array}{l}{AE=EF}\\{EG=GE}\end{array}\right.$，
∴Rt△AEG≌Rt△EFG，
∴AG=GF，
设AG=GF=x，
∴DG=4-x，CG=4+x，
∵DG²+CD²=CG²，
∴（4-x）²+4²=（4+x）²，
∴x=1，
∴AG=GF=1，
∴DG=3，
∵BD=$\sqrt{2}$BC=4$\sqrt{2}$，
∵DG∥BC，
∴△DGM∽△BCM，
∴$\frac{DM}{BM}=\frac{DG}{BC}$=$\frac{3}{4}$，
∴DM=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$，
同理BN=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴MN=BD-BN-DM=$\frac{20\sqrt{3}}{7}$，
故答案为：$\frac{20\sqrt{3}}{7}$．

点评 本题考查了翻折变换-折叠问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．