Question

14．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作⊙O的切线，交AC于F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若AB=10，AE=6，求BD的长度．

Answer 1

分析 （1）连接AD，OD，由AB是⊙O的直径，得到AD⊥BC，根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据平行线的性质即可得到结论；
（2）连接BE，根据勾股定理得到BE=8，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：连接AD，OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵AO=BO，
∴OD∥AC，
∵DF是⊙O的切线，
∴OD⊥DF，
∴DF⊥AC；
（2）解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴BE⊥AC，
∵AB=10，AE=6，
∴BE=8，
∵AC=AB=10，
∴CE=4，
∴BC=$\sqrt{B{E}^{2}+C{E}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴BD=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．