Question

13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC中点，点D关于直线
AB的对称点是F，连接CF、AD交于点E．
（1）求证：△ACD≌△CBF；
（2）求证：CF⊥AD．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质得到BD=BF，等量代换CD=BF，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到∠CAD=∠BCF，根据余角的性质得到∠ACE+∠CAE=90°，根据垂直的定义即可得到结论．

解答 证明：（1）∵点D关于直线AB的对称点是F，
∴BD=BF，
∵D为BC中点，
∴CD=BD，
∴CD=BF，
在△ACD与△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠CBF=90°}\\{CD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF；

（2）∵△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACE=90°，
∴∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠AEC=90°，
∴CF⊥AD．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．