Question

14．服装厂生产某品牌的T恤衫单价是每件2.5元，根据市场调查，以单价13.5元批发给经销商，经销商愿意经销500件，并且表示每件降价1元，愿意多经销200件．
（1）请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
（2）如果每天盈利y元，设每件降价x元，试建立y与x的函数关系式．
（3）试探索每件降价多少元时利润最大？最大利润是多少？

Answer 1

分析 商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：总利润=单个商品的利润×销售量．要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大．因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是（13.5-x）元了．单个的商品的利润是（13.5-x-2.5），这时商品的销售量是（500+200x），总利润可设为y元．利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润．

解答 解：设每件商品降价x元，
商品的售价就是（13.5-x）元，单个的商品的利润是（13.5-x-2.5）元，
这时商品的销售量是（500+200x）件．
设总利润为y元，
则y=（13.5-x-2.5）（500+200x）=-200x²+1700x+5500，
∵-200＜0，
∴y有最大值；
∴当x=-$\frac{1700}{2×（-200）}$=4.25时，
y_最大值=$\frac{4×（-200）×5500-170{0}^{2}}{4×（-200）}$=9112.5，
即：（1）厂家批发单价是13.5-4.25=9.25时可以获利最多；
（2）y与x的函数关系式为：y=-200x²+1700x+5500；
（3）每件降价4.25元时利润最大，最大利润是9112.5元．

点评 此题考查二次函数的运用，运用了数学建模思想把实际问题转化为数学问题．运用函数性质求最值常用公式法或配方法．