题目内容

如图，△ABC是一个边长为1的等边三角形，BB₁是△ABC的高，B₁B₂是△ABB₁的高，B₂B₃是△AB₁B₂的高，…，B_n-1B_n是△AB_n-2B_n-1的高，则B₄B₅的长是________；猜想B_n-1B_n的长是________．

$\text{[math]}$ $\text{[math]}$
分析：根据等边三角形性质得出AB₁=CB₁= $\text{[math]}$ ，∠AB₁B=∠BB₁C=90°，由勾股定理求出BB₁= $\text{[math]}$ ，求出△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ；求出 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，根据三角形的面积公式求出B₁B₂= $\text{[math]}$ ，由勾股定理求出BB₂，根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 代入求出B₂B₃= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，B₃B₄= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，B₄B₅= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，推出B_n-1B_n= $\text{[math]}$ ．
解答：∵△ABC是等边三角形，
∴BA=AC，
∵BB₁是△ABC的高，
∴AB₁=CB₁= $\text{[math]}$ ，∠AB₁B=∠BB₁C=90°，
由勾股定理得：BB₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴△ABC的面积是 $\text{[math]}$ ×1× $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ×1×B₁B₂，
B₁B₂= $\text{[math]}$ ，
由勾股定理得：BB₂= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×B₂B₃，
B₂B₃= $\text{[math]}$ ，
B₃B₄= $\text{[math]}$ ，
B₄B₅= $\text{[math]}$ ，
…，
B_n-1B_n= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是能根据计算结果得出规律．