Question

16．如图1，点E是正方形ABCD边上一点，AE=3，BE=1，P为AC上的动点，在图2中作出点P，使得PB+PE最小（不写画法，保留作图痕迹），并计算PB+PE的最小值．

Answer 1

分析 由正方形的性质可知；点B与点D关于AC对称，由轴对称的性质可知PB=PD，当点E、P、D在一条直线上时，PE+PB有最小值，最后根据勾股定理求得ED的长即可．

解答 解：如图所示：连接ED交AC与点P．

∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于AC对称．
∴PB=PD．
∴PE+PB=PD+EP．
由两点之间线段最短可知：当点E、P、D在一条直线上时，PE+PB有最小值，最小值为ED．
在Rt△ADE中，ED=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}=\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5．

点评 本题主要考查的是正方形的性质、轴对称-路径最短问题、勾股定理，明确当点E、P、D在一条直线上时，PE+PB有最小值是解题的关键．