Question

如图，已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CD⊥AB于点D，过B点作AP的垂线交PC于点F．
（1）求证：E是CD的中点；
（2）若FB=FE=2，求⊙O的半径．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：

分析：（1）延长BF、AC交于点M，则结合切线可得BF=FM，再结合平行线分线段成比例可求得CE=DE；
（2）结合条件可证得PF=AF，在Rt△PFB中，可得到PF和PB的关系，再结合PC是切线利用切割线定理可得到PB和PF的关系，可求得PB的长，则可求得AO的长，即⊙O的半径．

解答：（1）证明：
如图，延长BF、AC交于点M，
∵BF⊥AB，∴FB是⊙O的切线，
又CF是⊙O的切线，
∴CF=BF，
∴∠FCB=∠FBC，
又AB为直径，
∴∠BCM=90°，
∴∠B+∠M=∠BCF+∠FCM=90°，
∴∠FCM=∠M，
∴CF=MF，
∴BF=MF，
∵CD∥MB，
∴

CE

MF

=

AE

AF

=

ED

FB

，
∴CE=ED，
即E是CD的中点；
（2）解：
∵BF=EF=2=FC=FM，
∴∠FCE=∠FEC=∠AED，
又CD⊥AB，
∴∠FAB+∠AED=∠ECF+∠P，
∴∠FAB=∠P，
∴AF=PF，
∴AB=PB，
设AB=PB=x，PF=y，
则在Rt△PBF中，由勾股定理可得y²=2²+x²①，
又由切割线定理可得（y+2）²=x•2x=2x²②，
则可解得x=4

2

，y=6，
∴AO=

1

2

AB=2

2

．

点评：本题主要考查切线的性质及平行线分线段成比例等知识，在（1）中构造△ABM证得F是BM的中点是解题的关键，在（2）中注意勾股定理和切割线定理的应用．