Question

已知如图1，Rt△ABC和Rt△ADE的直角边AC和AE重叠在一起，AD=AE，∠B=30°，∠DAE=∠ACB=90°．
（1）如图1，填空：∠BAD=

 

；

BC

CD

=

 

；
（2）如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，∠ACH=∠BCH，连接BH，则H点是否为三角形ABC内切圆的圆心，为什么？

Answer 1

考点：旋转的性质,三角形的内切圆与内心

专题：计算题

分析：（1）如图1，利用互余计算出∠BAC=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得BC=

3

AC，则判断△ADE为等腰直角三角形，得到CD=

2

AC，于是∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，可计算出

BC

CD

=

6

2

；
（2）连结CE、AH，如图2，根据旋转的性质得AD=AC=AE，∠AED=∠D=45°，加上∠EAC=60°，则可判断△ACE为等边三角形，得到∠AEC=∠ACE=45°，于是可计算出∠HEC=∠HCE=15°，得到HE=HC，接着可证明△AHE≌△AHC，得到∠HAE=∠HAC，即AH为∠CAB的平分线，加上CH平分∠ACB，所以点H为△ABC的角平分线的交点，于是根据三角形内心的定义可判断H点为三角形ABC内切圆的圆心．

解答：解：（1）如图1，∵∠B=30°，∠ACB=90°，
∴∠BAC=60°，BC=

3

AC，
∵AD=AE，∠DAE=90°，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴CD=

2

AC，
∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=150°，

BC

CD

=

3 CD

2 CD

=

6

2

，
故答案为150°，

6

2

；
（2）H点是三角形ABC内切圆的圆心．理由如下：
连结CE、AH，如图2，
∵∠ACH=∠BCH，
∴∠ACH=45°，
∵△ADE绕点A顺时针旋转，使AE到AB边上，
∴AD=AC=AE，∠AED=∠D=45°，
而∠EAC=60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴∠AEC=∠ACE=45°，
∴∠HEC=∠HCE=15°，
∴HE=HC，
在△AHE和△AHC中，

AH=AH HE=HC AE=AC

，
∴△AHE≌△AHC（SSS），
∴∠HAE=∠HAC，
∴AH为∠CAB的平分线，
而CH平分∠ACB，
∴点H为△ABC的角平分线的交点，
∴H点是三角形ABC内切圆的圆心．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形和等腰直角三角形的性质、三角形内切圆的圆心．