Question

如图，已知点A（-4，4），点B为x轴的负半轴上的点，C为函数y=

4

x

的图象上的点，并且B在C的左边，连接AB，BC，AC是否存在这样的点B和点C，使得△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°？若存在，请求出点B和点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，先证得△ADB≌△BEC，从而求得AD=BE，DB=CE，设B（m，0），根据A的坐标即可得出C（4+m，4+m），代入函数的解析式即可求得点B和点C的坐标．

解答：解：存在；
理由：如图，作AD⊥x轴于D，CE⊥x轴于E，
∵△ABC为等腰直角三角形，且∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBE=90°，
∵∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠CBE，
在△ADB和△BEC中，

∠DAB=∠CBE ∠ADB=∠BEC=90° AB=BC

，
∴△ADB≌△BEC（AAS），
∴AD=BE，DB=CE，
设B（m，0），
∵点A（-4，4），
∴DB=4+m，-m+OE=4，
∴CE=4+m，OE=4+m，
∴C（4+m，4+m），
∵C为函数y=

4

x

的图象上的点，
∴4+m=

4

4+m

，
解得m=-2或m=-6，
∴B的坐标为（-2，0）或（-6，0），C的坐标为（2，2）或（-2，-2）．

点评：本题是反比例函数的综合题，考查了三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的性质，函数图象上点的坐标特征，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．