Question

8．已知抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，-3）．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）请写出两种一次平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=-2x上，并写出平移后相应的抛物线解析式．

Answer 1

分析 （1）利用交点式得出y=a（x-1）（x-3），进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）把x=2代入y=-2x得出y=-4，把y=1代入y=-2x得出y=-$\frac{1}{2}$，进而得出答案．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交于点A（1，0），B（3，0），可设抛物线解析式为y=a（x-1）（x-3），
把C（0，-3）代入得：3a=-3，
解得：a=-1，
故抛物线解析式为y=-（x-1）（x-3），
即y=-x²+4x-3，
∵y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴顶点坐标（2，1）；                                     
（2）平移方法有：
①向下平移5个单位，得到：y=-x²+4x-8，
 把x=2代入y=-2x得出y=-4，
∵顶点坐标（2，1）； 
∴向下平移5个单位，抛物线的顶点为（2，-4）；               
②向左平移2.5个单位，得到：y=-（x+0.5）²+1，
 把y=1代入y=-2x得出y=-$\frac{1}{2}$，
∴向左平移2.5个单位，抛物线的顶点为（-$\frac{1}{2}$，1）．

点评 此题主要考查了二次函数的平移以及配方法求二次函数解析式顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移性质得出平移后解析式是解题关键．