Question

19．已知关于x的一元二次方程x²-2（1-k）x+k²=0的两个实数根为x₁，x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）设y=x₁+x₂，当y取最小值时，求相应k的值，并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）由于关于x的一元二次方程x²-2（1-k）x+k²=0有两个实数根，可知△≥0，据此进行计算即可；
（2）由根与系数的关系得出y=-2k+2，进一步利用函数的性质，结合k的取值求得答案即可．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程x²-2（1-k）x+k²=0的两个实数根为x₁，x₂，
∴△=[-2（1-k）]²-4k² =4-8k≥0，
∴k≤$\frac{1}{2}$；
（2）y=x₁+x₂=2（1-k）=-2k+2，
∵-2＜0，
∴y随着x的增大而减小，当k取得最大值时，y值最小，
∵k≤$\frac{1}{2}$，
∴当k=$\frac{1}{2}$时，y_最小=-2×$\frac{1}{2}$+2=1．

点评 本题考查了根的判别式，要知道一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根；（3）△＜0?方程没有实数根．以及一次函数的性质．